[Ejemplo] Evaluación de los Efectos P-Delta

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[Ejemplo] Evaluación de los Efectos P-Delta

Este artículo desglosa los conceptos detrás de los efectos de 2do orden, también conocidos como efectos P-Delta, mediante un ejemplo práctico desarrollado manualmente y comparado con SAP2000.

Tabla de Contenido

¿Qué son los Efectos P-Delta?

Los efectos de 2do orden conocidos como efecto Carga-Desplazamiento o también como P-Δ, son efectos de magnificación de solicitaciones ocasionados por la interacción entre las cargas compresivas de la estructura con sus desplazamientos o imperfecciones geométricas, esto debido a las excentricidades generadas entre la posición deformada y la posición original no deformada de la estructura. Las cargas compresivas generan solicitaciones adicionales debido a estas excentricidades, de ahí viene el nombre de efectos Carga-Desplazamiento.

Este efecto es considerado un efecto geométricamente no-lineal, ya que depende principalmente de la capacidad de deformación de la estructura, es decir, de su rigidez. Todos los sistemas estructurales son afectados por estos efectos, sin embargo, aquellos de poca rigidez o esbeltos son especialmente susceptibles a los mismos, ya que son capaces de desarrollar mayores desplazamientos y deformaciones, lo cual produce una magnificación considerable de las solicitaciones iniciales.

Efectos de 1er orden

Para representar los efectos de segundo orden podemos realizar un análisis de una viga en voladizo, perfectamente vertical, sometida a una carga axial P y una carga lateral F:

Figura 1. Análisis de primer orden.

Si se realiza un análisis estático lineal de las cargas mencionadas, la flexión de la estructura es originada exclusivamente por la fuerza F multiplicada por su brazo de palanca L, originando así los momentos de primer orden.

Efectos de 2do orden

Esta fuerza F genera una deflexión lateral Δ, la cual genera un desplazamiento de la carga P de su eje original, produciendo así los efectos de segundo orden, tal como se visualiza en la siguiente imagen:

Figura 2. Interacción entre la carga P y el desplazamiento de primer orden.

La interacción entre las cargas compresivas y los desplazamientos, ocasionan un nuevo estado de equilibrio estático en la estructura debido a los momentos producidos por las excentricidades de las cargas, generando así un nuevo diagrama de fuerzas internas, y por ende, desplazamientos y deformaciones.

Cálculo de carga lateral equivalente para evaluación de efectos de 2do orden

Figura 3. Calculo de carga lateral equivalente para evaluación de efectos de 2do orden.

Cada interacción entre las cargas y los desplazamientos generarán desplazamientos adicionales, y como consecuencia, una nueva interacción entre la carga y los nuevos desplazamientos, por lo que el proceso de resolución se convierte en un proceso iterativo entre la carga y las deformaciones generadas para cada paso (step) analizado. Dicho proceso iterativo tiende a detenerse cuando la estructura consigue un punto de equilibrio entre las deformaciones totales y las cargas.

Figura 4. Sucesión de cálculos para la estimación de efectos de 2do orden.

Por lo general, podemos expresar los efectos de 2do orden de la siguiente forma:

Figura 5. Momentos totales de 2do orden por efecto del desplazamiento.

Tipos de efectos de segundo orden

Los efectos de 2do orden mencionados hasta ahora, han sido aquellos generados por la excentricidad de la carga P debido al desplazamiento de la estructura Δ, sin embargo, la curvatura de los elementos de la estructura (δ), también generará una excentricidad con respecto a donde quiere pasar la carga y por donde realmente transcurrirá.

Este efecto se le conoce como efecto Carga-Deformación o también denominado como P-δ, siendo δ las deformaciones locales de cada elemento estructural. Por lo cual, los efectos de segundo orden, serán la suma de la interacción de las cargas compresivas con los desplazamientos y deformaciones de la estructura, es decir los efectos P-Δ y P-δ:

Figura 6. Momentos totales de 2do orden considerando los efectos traslacionales (P-Δ) y de excentricidad por curvatura (P-δ).

Casos de aplicación

Como se mencionó anteriormente, todos los sistemas estructurales se verán afectados tanto por los efectos P-Δ como los P-δ, sin embargo, ciertas tipologías tenderán a ser más susceptibles a un efecto que a otro, donde en línea general se discretizan los pórticos desplazables y pórticos no-desplazables, siendo esté el término utilizado por el AISC y el ACI en sus códigos.

Figura 7. Pórticos desplazables y pórticos no desplazables.

En el caso general, aquellos sistemas estructurales donde el desplazamiento lateral es permitido, los efectos P-Δ tenderán a prevalecer sobre los efectos P-δ, mientras que en aquellos sistemas estructurales donde el desplazamiento lateral es restringido o controlado, los efectos P-δ gobernarán sobre los efectos P-Δ.

Por tratarse de un problema de no-linealidad, la metodología general de resolución es mediante un análisis paso a paso, donde los valores iniciales son los desplazamientos y deformaciones obtenidos por el análisis elástico de primer orden, con los cuales posteriormente se realiza el producto de las cargas compresivas con dichos desplazamientos, y así obtener las deformaciones iniciales del próximo paso de análisis. Este proceso se realiza hasta obtener una convergencia entre los valores de desplazamientos iniciales y desplazamientos finales en un mismo paso de análisis.

Ejemplo práctico: Evaluación de efectos P-Delta

La siguiente estructura se utilizará como ejemplo práctico:

Figura 8. Estructura de estudio.

El primer paso, es la realización de un análisis estático de primer orden, obteniendo tanto los valores de desplazamientos como de solicitaciones, tanto flectoras como fuerza axial. El análisis estructural puede ser realizado por cualquier metodología, siendo el método de las rigideces o desplazamientos el utilizado para este ejemplo, donde se han despreciado las deformaciones axiales, obteniendo de esta forma los siguientes resultados:

Figura 9. Respuesta estructural de análisis de 1er orden. Desplazamientos y diagramas de momentos.

Una vez obtenidos los valores de fuerza axiales en cada columna, se procede a determinar los momentos de segundo orden originados por el desplazamiento de estas fuerzas.

Posteriormente se determinan las fuerzas laterales equivalentes a los momentos de segundo orden generados por la excentricidad de la carga.

Luego se realiza un análisis estático lineal, exclusivamente con las fuerzas laterales equivalente para obtener los desplazamientos correspondientes, los cuales serán los desplazamientos iniciales del siguiente paso de análisis.

Fuerzas laterales equivalentes para estimación de efectos de 2do orden

Figura 10. Procedimiento de cálculo de fuerzas laterales equivalentes para la estimación de efectos de 2do orden.

Realizando este proceso por al menos 4 pasos, se obtuvieron los siguientes resultados:

Figura 11. Respuesta estructural considerando efectos de 2do orden.

Comparación de resultados con SAP2000

Estos resultados pueden ser comparados con programas especializados, siendo en este caso el software SAP2000 el utilizado para dicha comparación de resultados:

Respuesta estructural considerando efectos de 2do orden en SAP2000

Figura 12. Respuesta estructural considerando efectos de 2do orden realizado mediante el software SAP2000.

Efectos de segundo orden en las normativas

El conocimiento y aplicación de los efectos de segundo orden es de carácter obligatorio para el diseño de estructuras metálicas de acuerdo con el capítulo C del código AISC 360, donde se establecen los métodos de diseño basados en la estabilidad de la estructura, dentro de los cuales menciona los siguientes:

Método de análisis de primer orden aproximado.

Método de longitud efectiva.

Método de análisis directo (Direct Analysis Method – DAM).

Actualmente, el método de análisis directo es el más utilizado debido a su sencillez de aplicación, ya que no requiere la obtención de los factores de longitud efectiva, sin embargo, se debe efectuar la evaluación de los efectos de segundo orden, ya sea mediante la metodología expuesta en este artículo, o aplicando el método de análisis aproximado de segundo orden, cuyo procedimiento se encuentra detallado en el apéndice 8 del código AISC 360.

Otros códigos, como el ACI 318, limitan la evaluación de los efectos de segundo orden en función de la esbeltez de los miembros de concreto. Específicamente el artículo 6.2.5.1 indica que deberán ser considerados cuando el factor de esbeltez de un miembro comprimido sea mayor a 22 en pórticos desplazables. La notable rigidez de las estructuras de concreto en comparación a las delgadas y esbeltas secciones de acero, resultan en una flexibilización en la evaluación de estos efectos.

Alternativa de análisis

Existen diversas metodologías de estimación de los efectos de segundo orden, aunque la mayoría parten y terminan, en un proceso de evaluación paso a paso de la reducción de la rigidez del sistema estructural debido a las cargas compresivas.

La incidencia de las fuerzas compresivas en la rigidez de la estructura puede ser considerada por medio de la ecuación diferencial de un elemento barra elástica:

Figura 13. Evaluación de efectos de 2do orden de acuerdo a la teoría de elasticidad.

Aplicando teoría de elasticidad, se pueden determinar funciones de forma que dependen del nivel de carga compresiva para ser luego ser aplicados en la matriz de rigidez del sistema estructural, y así considerar su reducción ante los efectos de segundo orden.

Procedimientos como este, requieren de cálculos bastante rigurosos y complejos, incluso para sistemas estructurales convencionales. Para efectos prácticos, el método de la carga ficticia o carga lateral equivalente, nos proporciona resultados con muy buena aproximación al método anterior (mediante la resolución por medio de la ecuación diferencial), sin salirnos del concepto principal.

Método simplificado: Factores de magnificación de carga

Otra alternativa para la estimación de los efectos de segundo orden, es mediante el método simplificado usando factores de magnificación de carga, el cual es práctico desde el punto de vista manual, siendo esté el más referenciado por los códigos de diseño estructural.

Esta metodología consiste en usar factores que magnifican las solicitaciones que se asocian a los efectos P-Δ y P-δ, respectivamente, es decir, aquellos diagramas de momento que son producto de los desplazamientos laterales y aquellos que sólo generan deformación en los elementos estructurales. Estos efectos se pueden determinar de acuerdo a las siguientes expresiones, de acuerdo a cada código en específico:

Ecuaciones Factores de magnificación de carga

Donde, B1 es el factor de magnificación para solicitaciones que no se asocian a traslación lateral, mientras que los factores de magnificación δs y B2 multiplican las solicitaciones asociadas a los efectos traslacionales.

Efectos de segundo orden en el caso sísmico

Cuando estamos en presencia de amenaza sísmica, los códigos de diseño ponen especial atención en los efectos de 2do orden, indistintamente del material de construcción. Por ejemplo, el código ASCE 7, demanda un control de estos efectos, tanto por control de derivas laterales como por el índice de estabilidad Q. Este índice, expresa la relación entre los momentos de 2do orden y la rigidez lateral del sistema, expresándose de la siguiente manera:

Los desplazamientos Δ, son aquellos generados por las fuerzas laterales F, por lo que dicha expresión puede ser reescrita de la siguiente forma:

Esto deja en evidencia que el parámetro fundamental en la evaluación y control de los efectos de 2do orden es la rigidez lateral del sistema. Un control efectivo se realiza mediante el aumento de rigidez del sistema estructural, lo cual incide directamente en la reducción de los desplazamientos y por ende su interacción con las cargas compresivas.

Referencias

• American Institute of Steel Construction, Specification for structural steel buildings (ANSI/AISC 360-22), Chicago, IL, 2022.
• ACI Committee 318, Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-19) and Commentary, American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 2019.
• American Society of Civil Engineers. Minimum design loads for buildings and other structures (ASCE 7-22), ASCE, Reston, VA, 2022.
• Wight J. K. Reinforced Concrete – Mechanics and Design, 7th Edition, Pearson Education, Inc., Hoboken, New Jersey, 2016.
• Timoshenko S.P. and Gere J. M. Theory of Elastic Stability, 2nd Edition, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1961.

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Sobre el autor

Sergio David Valle Peñalver

Ingeniero Civil egresado de la Universidad de Carabobo (UC). Especialista en
ingeniería estructural (UCAB). Máster en diseño y construcción de puentes.
Profesor del Departamento de ingeniería estructural de Universidad de
Carabobo. Ingeniero estructural en VHICOA.